Bài 52 trang 216 SGK Đại số 10 Nâng cao

Đề bài

a) Chứng minh rằng nếu ∝ và β khác \({\pi  \over 2} + k\pi \,(k \in Z)\) thì:     

\(\left\{ \matrix{
\tan \alpha + \tan \beta = {{\sin (\alpha + \beta )} \over {\cos \alpha \cos \beta }} \hfill \cr
\tan \alpha - \tan \beta = {{\sin (\alpha - \beta )} \over {\cos \alpha \cos \beta }} \hfill \cr} \right.\)

b) Chứng minh rằng với mọi ∝ mà cos k∝ ≠ 0 (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) và sin ∝ ≠ 0 thì:

\({1 \over {\cos \alpha \cos 2\alpha }} + {1 \over {\cos 2\alpha \cos 3\alpha }} + ... + {1 \over {\cos 7\alpha \cos 8\alpha }} \)

\(= {{\tan 8\alpha  - \tan \alpha } \over {\sin \alpha }}\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(\eqalign{
& \tan \alpha + \tan \beta = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} + {{\sin \beta } \over {\cos \beta }} \cr&= {{\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha } \over {\cos \alpha \cos \beta }} \cr
& = {{\sin (\alpha + \beta )} \over {\cos \alpha \cos \beta }} \cr} \)

Tương tự: \(\tan \alpha  - \tan \beta  = {{\sin (\alpha  - \beta )} \over {\cos \alpha \cos \beta }}\)

b) Ta có: \({1 \over {\cos \alpha \cos 2\alpha }} = {{\tan 2\alpha  - \tan \alpha } \over {\sin (2\alpha  - \alpha )}} = {{\tan 2\alpha  - \tan \alpha } \over {\sin \alpha }}\)

Tương tự:

\(\eqalign{
& {1 \over {\cos 2\alpha \cos 3\alpha }} = {{\tan 3\alpha - \tan 2\alpha } \over {\sin \alpha }};... \cr
& {1 \over {\cos 7\alpha \cos 8\alpha }} = {{\tan 8\alpha - \tan 7\alpha } \over {\sin \alpha }} \cr} \)

Do đó: \({1 \over {\cos \alpha \cos 2\alpha }} + {1 \over {\cos 2\alpha \cos 3\alpha }} + ... + {1 \over {\cos 7\alpha \cos 8\alpha }} \)

\(= {{\tan 8\alpha  - \tan \alpha } \over {\sin \alpha }}\)