Bài 50 trang 215 SGK Đại số 10 Nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có 3 góc thỏa:

a) \(sinA = cosB + cosC\) thì ΔABC vuông

b) \(sinA = 2sinB.cosC\) thì ΔABC cân

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(\eqalign{
& sinA = cosB + cosC\cr& \Rightarrow \sin A = 2\cos {{B + C} \over 2}\cos {{B - C} \over 2} \cr
& \Leftrightarrow 2\sin {A \over 2}(cos{A \over 2} - \cos {{B - C} \over 2}) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos {A \over 2} = \cos {{B - C} \over 2}\;(\sin{A \over 2} \ne 0\,do\,0 < A < \pi ) \cr} \)

Nhưng: \(0 < {A \over 2} < {\pi  \over 2};|{{B - C} \over 2}|\, < {\pi  \over 2}\) , nên:

\(\cos {A \over 2} = \cos {{B - C} \over 2} \Leftrightarrow {A \over 2} = |{{B - C} \over 2}|\, \Leftrightarrow A = |B - C|\)

+ Nếu B > C thì A = B – C. Suy ra: \(S = {\pi  \over 2}\)

+ Nếu B < C thì A = C – B. Suy ra: \(C = {\pi  \over 2}\)

b) \(sinA = 2sinB.cosC \)

\(⇔ sin A = sin (B + C) + sin (B – C)\)

\(⇔ sin A = sin(π – A) + sin(B – C) \)

\(⇔ sin(B – C) = 0\)

Vì \(0 ≤ |B – C| ≤ π\), nên \(B – C = 0\)

Vậy tam giác ABC cân tại A.