Bài 4 trang 114 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hai mặt phẳng \((\alpha)\), \((\beta)\) cắt nhau và một điểm \(M\) không thuộc \((\alpha)\) và không thuộc \((\beta)\). Chứng minh rằng qua điểm \(M\) có một và chỉ một mặt phẳng \((P)\) vuông góc với \((\alpha)\) và \((\beta)\). Nếu \((\alpha)\) song song với \((\beta)\) thì kết quả trên sẽ thay đổi như thế nào?

Hướng dẫn giải

Sử dụng kết quả của định lí: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

Lời giải chi tiết

Gọi a là giao tuyến của hai mặt phẳng \((\alpha)\) và \((\beta)\). 

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \bot \left( \alpha \right)\\\left( P \right) \bot \left( \beta \right)\\\left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = a\end{array} \right. \Rightarrow a \bot \left( P \right)\)

Do đó mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với đường thẳng a, do đó mặt phẳng (P) là duy nhất.

Nếu  \((\alpha)//(\beta)\) gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \((\alpha)\) khi đó ta có \(d\bot (\beta)\).

Như vậy mọi mặt phẳng chứa \(d\) đều vuông góc với  \((\alpha)\) và \((\beta)\).

Do đó khi  \((\alpha)//(\beta)\) thì có vô số mặt phẳng \((P)\) đi qua \(M\) và vuông góc với  \((\alpha)\) và \((\beta)\).