Câu 8 trang 16 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Bài 8. Cho các hàm số sau :

a. \(y = - {\sin ^2}x\)

b.  \(y = 3{\tan ^2}x + 1\)

c. \(y = \sin x\cos x\)

d.  \(y = \sin x\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x\)

Chứng minh rằng mỗi hàm số \(y = f(x)\) đó đều có tính chất :

\(f(x + kπ) = f(x)\) với \(k \in\mathbb Z\), \(x\) thuộc tập xác định của hàm số \(f\).

Hướng dẫn giải

Với \(k \in\mathbb Z\) ta có :

a. \(f(x) = -\sin^2 x\)

\(f(x + kπ) = -\sin^2(x + kπ) =   - {\left[ {{{\left( { - 1} \right)}^k}\sin x} \right]^2} = - {\sin ^2}x = f\left( x \right)\)

b.

\(\eqalign{
& f\left( x \right) = 3{\tan ^2}x + 1 \cr
& f\left( {x + k\pi } \right) = 3{\tan ^2}\left( {x + k\pi } \right) + 1 = 3{\tan ^2}x + 1 = f\left( x \right) \cr} \)

c. \(f(x) = \sin x\cos x\)

\(\eqalign{
& f\left( {x + k\pi } \right) = \sin \left( {x + k\pi } \right).\cos \left( {x + k\pi } \right) = {\left( { - 1} \right)^k}\sin x.{\left( { - 1} \right)^k}\cos x \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sin x\cos x = f\left( x \right) \cr} \)

d.

\(\eqalign{
& f\left( x \right) = \sin x\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x \cr
& f\left( {x + k\pi } \right) = \sin \left( {x + k\pi } \right)\cos \left( {x + k\pi } \right) + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos \left( {2x + k2\pi } \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( { - 1} \right)^k}\sin x{\left( { - 1} \right)^k}\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x = \sin x\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x = f\left( x \right) \cr} \)