Câu 29 trang 41 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Bài 29. Giải các phương trình sau trên khoảng đã cho rồi dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi để tính gần đúng nghiệm của chúng (tính chính xác đến hàng phần trăm) :

a.  \(3\cos 2x + 10\sin x + 1 = 0\) trên \(\left( { - {\pi \over 2};{\pi \over 2}} \right)\)

b.  \(4\cos 2x + 3 = 0\) trên \(\left( {0;{\pi \over 2}} \right)\)

c.  \({\cot ^2}x - 3\cot x - 10 = 0\) trên \(\left( {0;\pi } \right)\)

d.  \(5 - 3\tan 3x = 0\) trên \(\left( { - {\pi \over 6};{\pi \over 6}} \right)\)

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

\(\eqalign{& 3\cos 2x + 10\sin x + 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow - 6{\sin ^2}x + 6\sin x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\sin x = - {1 \over 3}} \cr {\sin x = 2\,\left( {\text{ loại }} \right)} \cr} } \right. \cr} \) 

Phương trình \(\sin x = - {1 \over 3}\) có nghiệm gần đúng là \(x ≈ -0,34\)

b. Ta thấy \(0 < x < {\pi \over 2} \Leftrightarrow 0 < 2\pi < \pi .\) Với điều kiện đó, ta có :

\(4\cos 2x + 3 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = - {3 \over 4} \Leftrightarrow 2x = \alpha \Leftrightarrow x = {\alpha \over 2},\) 

trong đó \(α\) là số thực thuộc khoảng \((0 ; π)\) thỏa mãn \(\cos \alpha = - {3 \over 4}\). Dùng bảng số hoặc máy tính, ta tìm được \(α ≈ 2,42\). Từ đó nghiệm gần đúng của phương trình là  \(x = {\alpha \over 2} \approx 1,21\)

c.  \({\cot ^2}x - 3\cot x - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\cot x = 5} \cr {\cot x = - 2} \cr} } \right.\)

Nghiệm gần đúng của phương trình trong khoảng \((0; π)\) là \(x ≈ 0,2; x ≈ 2,68\)

d. \(x \in \left( { - {\pi \over 6};{\pi \over 6}} \right) \Leftrightarrow 3x \in \left( { - {\pi \over 2};{\pi \over 2}} \right).\) Với điều kiện đó, ta có :

\(5 - 3\tan 3x = 0 \Leftrightarrow \tan 3x = {5 \over 3} \Leftrightarrow 3x = \beta \Leftrightarrow x = {\beta \over 3},\) 

Trong đó \(β\) là số thực thuộc khoảng \(\left( { - {\pi \over 2};{\pi \over 2}} \right)\) thỏa mãn \(\tan \beta = {5 \over 3};\) bảng số hoặc máy tính cho ta \(β ≈ 1,03\). Vậy nghiệm gần đúng của phương trình là \(x ≈ 0,34\).