Câu 39 trang 46 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Bài 39. Chứng minh rằng các phương trình sau đây vô nghiệm :

a. \(\sin x – 2\cos x = 3\)

b. \(5\sin2x + \sin x + \cos x + 6 = 0\)

Hướng dẫn b. Đặt \(\sin x + \cos x = t\)

Hướng dẫn giải

a.

\(\sin x - 2\cos x = 3 \Leftrightarrow {1 \over {\sqrt 5 }}\sin x - {2 \over {\sqrt 5 }}\cos x = {3 \over {\sqrt 5 }} \Leftrightarrow \sin \left( {x - \alpha } \right) = {3 \over {\sqrt 5 }}\) trong đó \(α\) là số thỏa mãn \(\cos \alpha = {1 \over {\sqrt 5 }}\,\text{ và }\,\sin \alpha = {2 \over {\sqrt 5 }}.\) Phương trình cuối cùng vô nghiệm do \({3 \over {\sqrt 5 }} > 1,\) nên phương trình đã cho vô nghiệm.

b. Trong phương trình \(5\sin 2x + \sin x + \cos x + 6 = 0\), ta đặt \(t = \sin x + \cos x\) với điều kiện \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \) thì được phương trình \(5{t^2} + t + 1 = 0.\) Phương trình này vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm.