Câu 37 trang 46 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Bài 37. Mùa xuân ở Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) thường có trò chơi đu. Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động qua lại vị trí cân bằng. Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách h (tính bằng mét) từ người chơi đu đến vị trí cân bằng (h. 1.32) được biểu diễn qua thời gian t (t ≥ 0 và được tính bằng giây) bởi hệ thức \(h = |d|\) với \(d = 3\cos \left[ {{\pi \over 3}\left( {2t - 1} \right)} \right]\) , trong đó ta quy ước rằng \(d > 0\) khi vị trí cân bằng ở về phía sau lưng người chơi đu và \(d < 0\) trong trường hợp trái lại.

a. Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất.

b. Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu cách vị trí cân bằng 2 mét (tính chính xác đến

\({1 \over {100}}\) giây).

Hướng dẫn giải

a. Người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất khi  \(\cos \left[ {{\pi \over 3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = \pm 1\)

Ta có:

\(\eqalign{
& \cos \left[ {{\pi \over 3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = \pm 1 \Leftrightarrow \sin \left[ {{\pi \over 3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\pi \over 3}\left( {2t - 1} \right) = k\pi \Leftrightarrow t = {1 \over 2}\left( {3k + 1} \right) \cr} \) 

Ta cần tìm k nguyên để \(0 ≤ t ≤ 2\)

\(0 \le t \le 2 \Leftrightarrow 0 \le {1 \over 2}\left( {3k + 1} \right) \le 2 \Leftrightarrow - {1 \over 3} \le k \le 1 \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}\) 

Với \(k = 0\) thì \(t = {1 \over 2}.\) Với \(k = 1\) thì \(t = 2\). Vậy trong 2 giây đầu tiên, người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất vào các thời điểm \({1 \over 2}\) giây và 2 giây.

b. Người chơi đu cách vị trí cân bằng 2 mét khi  \(3\cos \left[ {{\pi \over 3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = \pm 2\)

Ta có:

\(\eqalign{
& 3\cos \left[ {{\pi \over 3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = \pm 2 \cr
& \Leftrightarrow {\cos ^2}\left[ {{\pi \over 3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = {4 \over 9} \cr
& \Leftrightarrow 1 + \cos \left[ {{{2\pi } \over 3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = {9 \over 8} \cr
& \Leftrightarrow \cos \left[ {{{2\pi } \over 3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = - {1 \over 9} \cr
& \Leftrightarrow {{2\pi } \over 3}\left( {2t - 1} \right) = \pm \alpha + k2\pi \cr
& \Leftrightarrow t = \pm {{3\alpha } \over {4\pi }} + {1 \over 2} + {{3k} \over 2}\,\left( {voi\,\cos \alpha = - {1 \over 9}} \right) \cr} \) 

Ta tìm k nguyên để \(0 ≤ t ≤ 2\)

- Với \(t = {{3\alpha } \over {4\pi }} + {1 \over 2} + {{3k} \over 2},\) ta có :

\(0 \le t \le 2 \Leftrightarrow - {1 \over 3} - {\alpha \over {2\pi }} \le k \le 1 - {\alpha \over {2\pi }}\) 

Với \(\cos \alpha = - {1 \over 9}\) ta chọn \(α ≈ 1,682\)

Khi đó \(– 0,601 < k < 0,732\) suy ra \(k = 0\) và \(t ≈ 0,90\)

- Với \(t = - {{3\alpha } \over {4\pi }} + {1 \over 2} + {{3k} \over 2},\) ta có :

\(0 \le t \le 2 \Leftrightarrow - {1 \over 3} + {\alpha \over {2\pi }} \le k \le 1 + {\alpha \over {2\pi }}\) 

Vì \(α ≈ 1,682\) nên \(– 0,066 < k < 1,267\), suy ra \(k \in {\rm{\{ }}0;1\} \)

Với \(k = 0\), ta có \(t ≈ 0,10\); với \(k = 1\), ta có \(t ≈ 1,60\)

Kết luận : Trong khoảng 2 giây đầu tiên, có ba thời điểm mà người chơi đu cách vị trí cân bằng 2 mét, đó là \(t ≈ 0,10\) giây; \(t ≈ 0,90\) giây và \(t ≈ 1,60\) giây.