Câu 41 trang 47 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Bài 41. Giải các phương trình sau :

a.  \(3{\sin ^2}x - \sin 2x - {\cos ^2}x = 0\)

b.  \(3{\sin ^2}2x - \sin 2x\cos 2x - 4{\cos ^2}2x = 2\)

c.  \(2{\sin ^2}x + \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\sin x\cos x + \left( {\sqrt 3 - 1} \right){\cos ^2}x = - 1\)

Hướng dẫn giải

a. Cách 1 : (chia hai vế cho \({\cos ^2}x\)). Chú ý rằng những giá trị của x mà \(\cos x = 0\) không là nghiệm của phương trình. Do đó :

\(\eqalign{& 3{\sin ^2}x - \sin 2x - {\cos ^2}x = 0 \cr & \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x - 2\tan x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan x = 1} \cr {\tan x = - {1 \over 3}} \cr} } \right. \cr} \) 

Từ đó suy ra các nghiệm của phương trình là :

\(x = {\pi \over 4} + k\pi \,va\,x = \alpha + k\pi \,\text{ trong đó }\,\tan \alpha = - {1 \over 3}\)

Cách 2 : (dùng công thức hạ bậc)

\(\eqalign{& 3{\sin ^2}x - \sin 2x - {\cos ^2}x = 0 \cr & \Leftrightarrow {{3\left( {1 - \cos 2x} \right)} \over 2} - \sin 2x - {{1 + \cos 2x} \over 2} = 0 \cr & \Leftrightarrow - 2\sin 2x - 4\cos 2x + 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow \sin 2x + 2\cos 2x = 1 \cr & \Leftrightarrow {1 \over {\sqrt 5 }}\sin 2x + {2 \over {\sqrt 5 }}\cos 2x = {1 \over {\sqrt 5 }} \cr & \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \alpha } \right) = \cos \left( {{\pi \over 2} - \alpha } \right) \cr & \text{ trong đó }\,\alpha \,\text{ là số thỏa mãn }\,\sin \alpha = {1 \over {\sqrt 5 }}\,\text{ và }\,\cos \alpha = {2 \over {\sqrt 5 }}.\text{ Ta có }\,: \cr & \cos \left( {2x - \alpha } \right) = \cos \left( {{\pi \over 2} - \alpha } \right) \cr & \Leftrightarrow 2x - \alpha = \pm \left( {{\pi \over 2} - \alpha } \right) + k2\pi \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 4} + k\pi } \cr {x = \alpha - {\pi \over 4} + k\pi } \cr} } \right.\left( {k \in \mathbb Z} \right) \cr} \)

b. Những giá trị của x mà \(\cos2x = 0\) không là nghiệm phương trình. Chia hai vế phương trình cho \({\cos ^2}2x\) ta được :

\(\eqalign{& 3{\tan ^2}2x - \tan 2x - 4 = 2\left( {1 + {{\tan }^2}2x} \right) \cr & \Leftrightarrow {\tan ^2}2x - \tan 2x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan 2x = - 2} \cr {\tan 2x = 3} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\alpha \over 2} + k{\pi \over 2}} \cr {x = {\beta \over 2} + k{\pi \over 2}} \cr} } \right.\,\text{ trong đó }\,\tan 2\alpha = - 2\,\text{ và }\,\tan 2\beta = 3 \cr} \) 

c. Với giá trị \(x\) mà \(\cos x = 0\) không là nghiệm phương trình chia hai vế phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được :

\(\eqalign{& 2{\tan ^2}x + \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\tan x + \sqrt 3 - 1 = - \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \cr & \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x + \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\tan x + \sqrt 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan x = - 1} \cr {\tan x = - {{\sqrt 3 } \over 3}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {\pi \over 4} + k\pi } \cr {x = - {\pi \over 6} + k\pi } \cr} } \right.\,\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr} \)