Câu 67 trang 94 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Bài 67. Có hai túi, túi thứ nhất chứa ba tấm thẻ đánh số 1, 2, 3 và túi thứ hai chứa bốn tấm thẻ đánh số 4, 5, 6, 8. Rút ngẫu nhiên từ mỗi túi một tấm thẻ rồi cộng hai số ghi trên hai tấm thẻ với nhau. Gọi X là số thu được.

a. Lập bảng phân bố xác suất của X;

b. Tính \(E(X)\).

Hướng dẫn giải

a. Không gian mẫu \(Ω = \{(x ; y) | x \in \{1, 2, 3\}, y \in \{4, 5, 6, 8\}\}\)

Khi đó \(n_Ω= 3.4 = 12\)

Ta có X nhận các giá trị thuộc tập \(\{5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}\)

Ta tính \(P(X = 5)\). Gọi A là biến cố “X = 5” (tức là biến cố “Tổng số ghi trên hai tấm thẻ bằng 5”.

Ta có:

\({\Omega _A} = \left\{ {\left( {1;4} \right)} \right\}\,\text{ Vậy }\,P\left( {X = 5} \right) = {1 \over {12}}\)

Hoàn toàn tương tự, ta tính được :

\(P\left( {X = 6} \right) = {2 \over {12}} = {1 \over 6}\)

(vì biến có “X = 6” có hai kết quả thuận lợi là (1 ; 5) và (2 ; 4)).

\(P\left( {X = 7} \right) = {3 \over {12}} = {1 \over 4}\)

(vì biến có “X = 7” có ba kết quả thuận lợi là (1 ; 6) và (2 ; 5) và (3 ; 4)).

\(P\left( {X = 8} \right) = {2 \over {12}} = {1 \over 6}\)

(vì biến có “X = 8” có hai kết quả thuận lợi là (3 ; 5) và (2 ; 6)).

\(P\left( {X = 9} \right) = {2 \over {12}} = {1 \over 6}\)

(vì biến có “X = 9” có hai kết quả thuận lợi là (3 ; 6) và (1 ; 8)).

\(P\left( {X = 10} \right) = {1 \over {12}}\)

(vì biến có “X = 10” chỉ có một kết quả thuận lợi là (2 ; 8)).

\(P\left( {X = 11} \right) = {1 \over {12}}\)

(vì biến có “X = 11” chỉ có một kết quả thuận lợi là (3 ; 8)).

Ta suy ra bảng phân bố xác suất của X như sau :

X

5

6

7

8

9

10

11

P

 \({1 \over {12}}\)

\({1 \over {6}}\) 

 \({1 \over {4}}\)

\({1 \over {6}}\) 

\({1 \over {6}}\) 

\({1 \over {12}}\) 

 \({1 \over {12}}\)

X

5

6

7

8

9

10

11

P

 \({1 \over {12}}\)

\({1 \over {6}}\) 

 \({1 \over {4}}\)

\({1 \over {6}}\) 

\({1 \over {6}}\) 

\({1 \over {12}}\) 

 \({1 \over {12}}\)

b. Ta có:  

\(E\left( X \right) = 5.{1 \over {12}} + 6.{1 \over 6} + 7.{1 \over 4} + 8.{1 \over 6} + 9.{1 \over 6} + 10.{1 \over {12}} + 11.{1 \over {12}} = 7,75\)