Bài 1 trang 145 SGK Giải tích 12

Đề bài

Cho hàm số:  \(f(x) = ax^2– 2(a + 1)x + a + 2 ( a ≠ 0)\)

a) Chứng tỏ rằng phương trình \(f(x)  = 0\) luôn có nghiệm thực. Tính các nghiệm đó.

b) Tính tổng \(S\) và tích \(P\) của các nghiệm của phương trình \(f(x) = 0\). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số của \(S\) và \(P\) theo \(a\).

Hướng dẫn giải

a) Nhẩm nghiệm, đưa phương trình \(f(x)=0\) về dạng phương trình tích để tìm nghiệm của phương trình.

b) Dựa vào hệ thức Vi-ét để tính tổng và tích các nghiệm của phương trình \(f(x)=0.\)

+) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số và vẽ đồ thị hàm số qua các bước đã được học.  

Lời giải chi tiết

Ta có: \(f(x) = ax^2– 2(a + 1)x + a + 2 = (x – 1)(ax – a- 2)\) nên phương trình \(f(x) = 0\) luôn có hai nghiệm thực là:

\(x = 1\) và \( x = {{a + 2} \over a}.\)

Theo định lí Vi-et, tổng và tích của các nghiệm đó là:

 \(S = {{2a + 2} \over a},P = {{a + 2} \over a}\)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(S = {{2a + 2} \over a} = 2 + {2 \over a}\)

- Tập xác định : \((-∞; 0) ∪ (0,\; +∞)\)

- Sự biến thiên: \(S' =  - {2 \over {{a^2}}} < 0,\forall a \in ( - \infty ; 0) \cup (0; + \infty )\) nên hàm số nghịch biến trên hai khoảng \((-∞; 0)\) và \((0; +∞)\)

- Cực trị: Hàm số không có cực trị.

- Giới hạn tại vô cực và tiệm cận ngang.

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } S = \mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } (2 + {2 \over a}) = 2 \cr
& \mathop {\lim }\limits_{a \to - \infty } S = \mathop {\lim }\limits_{a \to - \infty } (2 + {2 \over a}) = 2 \cr} \)

Vậy \(S = 2\) là tiệm cận ngang

- Giới hạn vô cực và tiệm cận đứng:

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ + }} S = \mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ + }} (2 + {2 \over a}) = + \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ - }} S = \mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ - }} (2 + {2 \over a}) = - \infty \cr} \)

Vậy \(a = 0\) là tiệm cận đứng.

- Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Đồ thị không cắt trục tung, cắt trục hoành tại \(a = -1\)

2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(P = {{a + 2} \over a} = 1 + {2 \over a}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb R\backslash {\rm{\{ }}0\} \)

 \(P' = {{ - 2} \over {{a^2}}} < 0,\forall a \in D\)

\(\mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ - }} S =  - \infty  ⇒ \) Tiệm cận đứng: \(a = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{a \to  \pm \infty } S = 1⇒\) Tiệm cận ngang: \(P = 1\)

Đồ thị hàm số:

Ngoài ra: đồ thị hàm số \(P = {{a + 2} \over a} = 1 + {2 \over a}\) có thể nhận được bằng cách tịnh tiến đồ thị \(S = {{2a + 2} \over a} = 2 + {2 \over a}\) dọc theo trục tung xuống phía dưới \(1\) đơn vị.