Bài 2 trang 145 SGK Giải tích 12

Đề bài

Cho hàm số: \(y =  - {1 \over 3}{x^3} + (a - 1){x^2} + (a + 3)x - 4.\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số khi \(a = 0.\)

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng \(y = 0,\, x = -1,\, x = 1.\)

Hướng dẫn giải

+) Thay \(a=0\) vào hàm số sau đó khảo sát và vẽ đồ thị hàm số theo các bước đã được học.

+) Hình phẳng được giới hạn bởi đường các đồ thị hàm số \(y=f(x);\) \(y=g(x)\) và các đường thẳng \(x=a; \, \, x=b \, (a<b)\) có diện tích được tính bởi công thức:  \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx.} \)

Lời giải chi tiết

a) Khi \(a = 0\) ta có hàm số: \(y =  - {1 \over 3}{x^3} - {x^2} + 3x - 4\)

- Tập xác định : \((-∞; +∞)\)

- Sự biến thiên: \(y’= -x^2 – 2x + 3\)

\(y’=0 ⇔ x = 1, x = -3\)

Trên các khoảng \((-∞;-3)\) và \((1; +∞), y’ < 0\) nên hàm số nghịch biến.

Trên khoảng \((-3; 1), y’ > 0\)

_ Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\), \({y_{CD}} = {{ - 7} \over 3}\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = -3\), \({y_{CT}} =  - 13\)

_ giới hạn vô cực : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty }  =  - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty }  =  + \infty \)

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Đồ thị cắt trục tung tại \(y = -4\)

Đồ thị cắt trục hoành tại \(x ≈ 5, 18\)

b) Hàm số \(y =  - {1 \over 3}{x^3} - {x^2} + 3x - 4\) đồng biến trên khoảng \((-3; 1)\) nên:

\(y < y(1) = {{ - 7} \over 3} < 0\),  \(∀x ∈ (-1; 1)\)

Do đó , diện tích cần tính là:

\(\begin{array}{l}
S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| { - \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + 3x - 4} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - 3x + 4} \right)dx} \\
\;\; = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{{12}} + \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 4x - 1} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \frac{{23}}{{12}} + \frac{{27}}{4} = \frac{{26}}{3}.
\end{array}\)