Bài 13 trang 148 SGK Giải tích 12

Đề bài

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng

a) \(y = x^2 + 1, x = -1, x = 2\) và trục hoành

b) \(y = ln x, x = {1 \over e}, x = e\) và trục hoành

Hướng dẫn giải

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành, đường thẳng \(x=a,x=b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết

a) Diện tích hình phẳng cần tìm là:

\(S = \int\limits_{ - 1}^2 {({x^2} + 1)dx = ({{{x^3}} \over 3}}  + x)\left| {_{ - 1}^2} \right. = 6\)

 b) Diện tích hình phẳng cần tìm là:

\(\eqalign{& S = \int\limits_{{1 \over e}}^e {|\ln x|dx = \int\limits_{{1 \over e}}^1 {|\ln x|dx + } } \int\limits_1^e {|\ln x|dx} \cr & = - \int\limits_{{1 \over e}}^1 {\ln xdx + \int\limits_1^e {\ln xdx} } \cr} \)

Tính \(\int\limits_{}^{} {\ln xdx} \).

Đặt \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{x}\\v = x\end{array} \right.\\\Rightarrow \int\limits_{}^{} {\ln xdx} = x\ln x - \int\limits_{}^{} {dx} = x\ln x - x + C\end{array}\)

Do đó:

\(\eqalign{
& S = - \int\limits_{{1 \over e}}^1 {\ln xdx + \int\limits_1^e {\ln xdx} } = \int\limits_1^{{1 \over e}} {\ln xdx + \int\limits_1^e {xdx} } \cr
& = (x\ln x - x)\left| {_1^{{1 \over e}}} \right. + (x\ln x - x)\left| {_1^e} \right. = 2(1 - {1 \over e}) \cr} \)