Bài 5 trang 80 SGK Hình học 12

Đề bài

Cho tứ diện có các đỉnh là \(A(5 ; 1 ; 3), B(1 ; 6 ; 2), C(5 ; 0 ; 4), D(4 ; 0 ; 6).\)

a) Hãy viết các phương trình mặt phẳng \((ACD)\) và \((BCD)\)

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \((α)\) đi qua cạnh \(AB\) và song song với cạnh \(CD\).

Hướng dẫn giải

a) Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(3\) điểm \(A, \, \, B\) và \(C\) có VTPT:  \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AC} } \right].\)

+) Phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua \(M(x_0;\, \, y_0;\,\, z_0)\) và có VTPT  \(\overrightarrow n  = \left( {a;\;b;\;c} \right)\) có dạng:  \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0.\)

b) Mặt phẳng \((P)\) song song với các đường thẳng có giá là các vecto  \(\overrightarrow u ;\;\;\overrightarrow v  \Rightarrow \) VTPT của \((P)\) là:  \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right].\)

Sau đó áp dụng công thức như câu a để lập phương trình mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

a) Mặt phẳng \((ADC)\) đi qua \(A(5 ; 1 ; 3)\) và chứa giá của các vectơ \(\overrightarrow{AC}(0 ; -1 ; 1)\) và \(\overrightarrow{AD}(-1 ; -1 ; 3)\).

Khi đó VTPT của mặt phẳng \((ADC)\) là:  \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} \right ]\) \( = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\{ - 1}&3\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\3&{ - 1}\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right|} \right)= (-2 ; -1 ; -1).\) 

Phương trình \((ACD)\) có dạng:

\(2(x - 5) + (y - 1) + (z - 3) = 0\).

hay \(2x + y + z - 14 = 0\).

Tương tự: Mặt phẳng \((BCD)\) qua điểm \(B(1 ; 6 ; 2)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow{m}=\left [\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right ]\) làm vectơ pháp tuyến.

Ta có :\(\overrightarrow{BC}(4 ; -6 ; 2)\), \(\overrightarrow{BD}(3 ; -6 ; 4)\) và

\(\overrightarrow{m}=\left (\begin{vmatrix} -6 & 2\\ -6 & 4 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 2 &4 \\ 4& 3 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 4 & -6\\ 3& -6 \end{vmatrix} \right )\)

      \(= (-12 ; -10 ; -6)=-2(6; 5; 3).\)

Xét  \(\overrightarrow{m_{1}} (6 ; 5 ; 3)\) thì \(\overrightarrow{m}=-2\overrightarrow{m_{1}}\) nên \(\overrightarrow{m_{1}}\) cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((BCD)\). Phương trình mặt phẳng \((BCD)\) có dạng:

       \(6(x - 1) + 5(y - 6) +3(z - 2) = 0\)

hay  \(6x + 5y + 3z - 42 = 0\).

b) Mặt phẳng \(( α )\) qua cạnh \(AB\) và song song với \(CD\) thì \(( α )\) qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow{AB} (-4 ; 5 ; -1)\) , \(\overrightarrow{CD}(-1 ; 0 ; 2)\) làm vectơ chỉ phương.

VTPT của  mặt phẳng \((α): \overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right ] \) \(= \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 1}\\0&2\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 4}\\2&{ - 1}\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4}&5\\{ - 1}&0\end{array}} \right|} \right)= (10 ; 9 ; 5).\)

Phương trình mặt phẳng \(( α )\) có dạng : \(10x + 9y + 5z - 74 = 0\).