Bài 8 trang 81 SGK Hình học 12

Đề bài

Xác định giá trị của \(m\) và \(n\) để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mặt phẳng song song với nhau:

a) \(2x + my + 3z - 5 = 0\) và \(nx - 8y - 6z + 2 = 0\);

b) \(3x - 5y + mz - 3 = 0\) và \(2x + ny - 3z + 1 = 0\);

Hướng dẫn giải

Cho hai mặt phẳng: \((\alpha): a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0\) và \((\beta): a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0\).

Khi đó \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{a_1};\;{b_1};\;{c_1}} \right) = k\left( {{a_2};\;{b_2};\;{c_2}} \right)\\{d_1} \ne k{d_2}\end{array} \right.\) hay \(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}} \ne \frac{{{d_1}}}{{{d_2}}}.\)

Lời giải chi tiết

Hai mặt phẳng  \(2x + my + 3z - 5 = 0\)  và \(nx - 8y - 6z + 2 = 0\) song song với nhau khi và chỉ khi:

\(\frac{2}{n}=\frac{m}{-8}=\frac{3}{-6}\neq \frac{-5}{2}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3n = - 12\\- 6m = - 24\end{array} \right.⇔ \left\{\begin{matrix} n= -4 & \\ m=4& \end{matrix}\right.\).

b) Hai mặt phẳng \(3x - 5y + mz - 3 = 0\) và \(2x + ny - 3z + 1 = 0\)  khi và chỉ khi :

\(\frac{3}{2}=-\frac{5}{n}=\frac{m}{-3}\neq -\frac{3}{1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3n = - 10\\2m = - 9\end{array} \right.⇔ \left\{\begin{matrix} n=-\frac{10}{3} & \\ m=-\frac{9}{2} & \end{matrix}\right..\)