Trang chủ Lớp 12 Toán Lớp 12 SGK Cũ Bài 2. Cực trị của hàm số Bài 12 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 12 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Lý thuyết Bài tập

Tóm tắt bài

Đề bài

Bài 12. Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) \(y = x\sqrt {4 - {x^2}} \)              b) \(y = \sqrt {8 - {x^2}} \)

c) \(y = x - \sin 2x + 2\)      d) \(y = 3 - 2\cos x - \cos 2x\)

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định: \(D = \left[ { - 2;2} \right]\)

\(y' = \sqrt {4 - {x^2}}  + x.{{ - x} \over {\sqrt {4 - {x^2}} }} = {{4 - {x^2} - {x^2}} \over {\sqrt {4 - {x^2}} }} = {{4 - 2{x^2}} \over {\sqrt {4 - {x^2}} }}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow 4 - 2{x^2} = 0 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 2 \)

\(y\left( { - \sqrt 2 } \right) =  - 2;y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x =  - \sqrt 2 \); giá trị cực tiểu \(y\left( { - \sqrt 2 } \right) =  - 2\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = \sqrt 2 \); giá trị cực đại \(y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\)

b) TXĐ: \(D = \left[ { - 2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 } \right]\)

\(y' = {{ - x} \over {\sqrt {8 - {x^2}} }};\,y' = 0 \Leftrightarrow x = 0;\,y\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 \)

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=0\), giá trị cực đại \(y\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 \)

c) Áp dụng quy tắc 2.

TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(\,y' = 1 - 2\cos 2x;y' = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = {1 \over 2} = \cos {\pi  \over 3} \Leftrightarrow x =  \pm {\pi  \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb {Z}}\)

\(y'' = 4\sin 2x\)

* Ta có: \(y''\left( {{\pi  \over 6} + k\pi } \right) = 4\sin \left( { - {\pi  \over 3}} \right) =  - 2\sqrt 3  < 0\)

Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x =  - {\pi  \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb{Z}}\); giá trị cực đại

\(y\left( { - {\pi  \over 6} + k\pi } \right) =  - {\pi  \over 6} + k\pi  + {{\sqrt 3 } \over 2} + 2\)

 \(y''\left( {{\pi  \over 6} + k\pi } \right) = 4\sin \left( {{\pi  \over 3}} \right) = 2\sqrt 3  > 0\).

Do đó hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x = {\pi  \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb{Z}}\); giá trị cực tiểu:

\(y\left( {{\pi  \over 6} + k\pi } \right) = {\pi  \over 6} + k\pi  - {{\sqrt 3 } \over 2} + 2\)

d) Áp dụng quy tắc 2.

\(\,y' = 2\sin x + 2\sin 2x = 2\sin x\left( {1 + 2\cos x} \right);\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin x = 0 \hfill \cr
\cos x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k\pi \hfill \cr
x = \pm {{2\pi } \over 3} + 2k\pi ,k \in {\mathbb{Z}} \hfill \cr} \right.\)

\(y'' = 2\cos x + 4\cos 2x.\)
 \(y''\left( {k\pi } \right) = 2\cos k\pi  + 4\cos 2k\pi  = 2\cos k\pi  + 4 > 0\) với mọi \(k \in {\mathbb{Z}}\)

Do đó hàm số đã cho đạt cực tiểu tại các điểm \(x = k\pi \), giá trị cực tiểu:

\(y\left( {k\pi } \right) = 3 - 2\cos k\pi  - \cos 2k\pi  = 2 - 2\cos k\pi \)

 \(y''\left( { \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi } \right) = 2\cos {{2\pi } \over 3} + 4\cos {{4\pi } \over 3} = 6\cos {{2\pi } \over 3} =  - 3 < 0.\)

Do đó hàm số đã cho đạt cực đại tại các điểm \(x =  \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi ,k \in {\mathbb{Z}}\); giá trị cực đại:

\(y\left( { \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi } \right) = 3 - 2\cos {{2\pi } \over 3} - \cos {{4\pi } \over 3} = {9 \over 2}\).

Copyright © 2021 HOCTAP247