Bài 10 trang 124 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 10. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; -1; 2), B(2; 0; 1).
a) Tìm quỹ tích các điểm M sao cho \(M{A^2} - M{B^2} = 2.\)
b) Tìm quỹ tích các điểm N sao cho \(N{A^2} + N{B^2} = 3.\)
c) Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng (OAB) và (Oxy).

Hướng dẫn giải

a) Giả sử M(x, y, z) ta có: \(M{A^2} - M{B^2} = 2.\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {\left( {1 - x} \right)^2} + {\left( { - 1 - y} \right)^2} + {\left( {2 - z} \right)^2} - {\left( {2 - x} \right)^2} - {y^2} - {\left( {1 - z} \right)^2} = 2 \cr
& \Leftrightarrow 2x + 2y - 2z - 1 = 0. \cr} \)

Vậy quỹ tích điểm M là mặt phẳng có phương trình \(2x + 2y - 2z - 1 = 0.\)

b) Giả sử N(x, y, z) ta có: \(N{A^2} + N{B^2} = 3.\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {\left( {1 - x} \right)^2} + {\left( { - 1 - y} \right)^2} + {\left( {2 - z} \right)^2} + {\left( {2 - x} \right)^2} + {y^2} + {\left( {1 - z} \right)^2} = 3 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 3x + y - 3z + 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {x - {3 \over 2}} \right)^2} + {\left( {y + {1 \over 2}} \right)^2} + {\left( {z - {3 \over 2}} \right)^2} = {3 \over 4}. \cr} \)

Vậy quỹ tích các điểm N là mặt cầu có tâm \(I\left( {{3 \over 2}; - {1 \over 2};{3 \over 2}} \right)\), bán kính \({{\sqrt 3 } \over 2}.\)
c) Mặt phẳng (OAB) đi qua O, có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( { - 1;3;2} \right)\) nên có phương trình: \( - x + 3y + 2z = 0.\)
Mp(Oxy) có phương trình z = 0.
Điểm M(x, y, z) cách đều mp(OAB) và mp(Oxy) khi và chỉ khi:

\(\eqalign{
& {{\left| { - x + 3y + 2z} \right|} \over {\sqrt {1 + 9 + 4} }} = \left| z \right| \Leftrightarrow - x + 3y + 2z = \pm \sqrt {14} z \cr
& \Leftrightarrow x - 3y + \left( { \pm \sqrt {14} - 2} \right)z = 0. \cr} \)