Bài 11 trang 124 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 11. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình 

\(\left\{ \matrix{
x = 1 + at \hfill \cr
y = 1 + bt \hfill \cr
z = 5 + ct \hfill \cr} \right.\) trong đó a, b, c thay đổi sao cho \({c^2} = {a^2} + {b^2}.\)

a) Chứng minh rằng đường thẳng \(\Delta \) đi qua một điểm cố định, góc giữa \(\Delta \) và Oz là không đổi.
b) Tìm quỹ tích các giao điểm của \(\Delta \) và mp(Oxy).

Hướng dẫn giải

a) \(\Delta \) đi qua điểm A(1; 1; 5) cố định.
\(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {a,b,c} \right).\)
Gọi \(\varphi \) là góc giữa \(\Delta \) và trục Oz. Ta có:
\(\cos \varphi  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right)} \right| = \left| {{c \over {\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}} \right| = \left| {{c \over {c\sqrt 2 }}} \right| = {{\sqrt 2 } \over 2}.\)
Suy ra \(\varphi  = {45^0}.\)
b) Vì \({c^2} = {a^2} + {b^2}\) nên \(c \ne 0\) (vì nếu c = 0 thì a = b = 0).
Gọi M(x, y, z) là giao điểm của \(\Delta \) và mp(Oxy) thì (x, y, z) thỏa mãn hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
x = 1 + at \hfill \cr
y = 1 + bt \hfill \cr
z = 5 + ct \hfill \cr
z = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x - 1 = at \hfill \cr
y - 1 = bt \hfill \cr
t = - {5 \over c} \hfill \cr
z = 0 \hfill \cr} \right..\)

Từ đó suy ra \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = \left( {{a^2} + {b^2}} \right).{{25} \over {{c^2}}} = 25\) và z = 0.
Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm I(1; 1; 0) bán kính bằng 5 và nằm trong mp(Oxy).