Bài 5 trang 122 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 5. Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi H là hình gồm các điểm của hình tròn (O; R) nhưng không nằm trong hình vuông. Tính thể tích hình tròn xoay sinh bởi hình H khi quay quanh đường thẳng chứa một đường chéo của hình vuông.

Hướng dẫn giải

Khi quay quanh đường chéo AC thì hình tròn (O, R) sinh ra khối cầu (S), đoạn thẳng BD sinh ra hình tròn (C) và hình vuông ABCD sinh ra hình tròn xoay K gồm hai hình nón có chung đáy là (C) với đỉnh là A và C. Do đó H sinh ra khối tròn xoay gồm những điểm thuộc hình cầu (S) nhưng không thuộc K và thể tích V của khối đó là:

\(V = {V_{\left( S \right)}} - {V_{\left( K \right)}} = {4 \over 3}\pi {R^3} - 2.{1 \over 3}\pi {R^2}.R = {2 \over 3}\pi {R^3}.\)