Toán 9 Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Nhắc lại bài cũ về phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\) có 2 nghiệm phân biệt

\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}; x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\)

Ta có: \(x_1+x_2=\frac{-2b+\sqrt{\Delta }-\sqrt{\Delta }}{2a}=-\frac{b}{a}\)

\(x_1.x_2=\frac{b^2-\Delta }{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\)

Định lý Vi-ét

Nếu \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) thì:

\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)

và \(x_1.x_2=\frac{c}{a}\)

Tổng quát

Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) có \(a+b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=1\) và nghiệm kia là \(x_2=\frac{c}{a}\).

Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) có \(a-b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=-1\) và nghiệm kia là \(x_2=-\frac{c}{a}\).

Tìm 2 số khi biết tổng của chúng là S và tích của chúng là P. Giả sử 1 số là x thì số còn lại là \(S-x\)

Vì thế, tích của chúng được viết lại là: \(x(S-x)=P\Leftrightarrow x^2-Sx+P=0\)

Đặt \(\Delta =S^2-4P\)

 

Bài 1: Tìm tổng và tích của các nghiệm phương trình sau: \(x^2-8x+11=0\)

Hướng dẫn: Đầu tiên ta tính \(\Delta' =(-4)^2-1.11=5>0\)

Ta có: \(S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-\frac{-8}{1}=8\)

\(P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{11}{1}=11\)

Bài 2: Tìm tổng và tích của các nghiệm phương trình sau:\(2x^2-8x-29=0\)

Hướng dẫn:

Với bài toán này, ta nhận thấy hệ số a và c trái dấu, như đã học ở bài trước, pt này chắc chắn có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy: \(S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-\frac{-8}{2}=4\)

\(P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{29}{2}\)

Bài 3:Tìm tổng và tích của các nghiệm phương trình sau: \(x^2+10x+25\)

Hướng dẫn: Đầu tiên ta tính \(\Delta' =(-5)^2-1.25=0\)

Vậy \(S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-\frac{10}{1}=-10\)

\(P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{25}{1}=25\)

Bài 1: Tìm hai số biết tổng của chúng là 5 và tích của chúng là 6

Hướng dẫn: Gọi hai số đó là \(x_1\) và \(x_2\)\(\Rightarrow x_1+x_2=5; x_1.x_2=6\)

Lại có \(S^2=25>4P=24\)

Vậy 2 số cần tìm là nghiệm của phương trình \(x^2-Sx+P=0\) hay \(x^2-5x+6=0\)

\(\Rightarrow x_1=3, x_2=2\) hoặc \(\Rightarrow x_1=2, x_2=3\)

Bài 2: Tìm hai số biết hiệu của chúng là 11 và tích của chúng là 60

Hướng dẫn: Gọi hai số cần tim là a, b

Ta có \(\left\{\begin{matrix} a-b=11\\ ab=60 \end{matrix}\right.\)

Thế \(a=11+b\) vào phương trình tích, ta được \(b(b+11)=60\Leftrightarrow b^2+11b-60=0\)

\(\Rightarrow b=-15\) hoặc \(b=4\)

\(b=-15\Rightarrow a=-4\)

\(b=4\Rightarrow a=15\)

Qua bài giảng Hệ thức Vi-ét và ứng dụng này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Nắm vững hệ thức Viet
• Biết cách tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 9 Chương 4 Bài 6 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Tổng và tích 2 nghiệm của phương trình \(x^2+6x-2017=0\) lần lượt là:

  • A. \(S=-6;P=2017\)
  • B. \(S=6;P=-2017\)
  • C. \(S=6;P=2017\)
  • D. \(S=-6;P=-2017\)

• Câu 2:

  Cho phương trình \(-x^2+8x-17=0\). Tổng và tích của 2 nghiệm phương trình trên là: 

  • A. \(S=8; P=17\)
  • B. \(S=-8; P=17\)
  • C. \(S=8; P=-17\)
  • D. Không tìm được

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 9 Chương 4 Bài 6 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9 tập 2

Bài tập 25 trang 52 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 26 trang 53 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 27 trang 53 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 28 trang 53 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 29 trang 54 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 30 trang 54 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 31 trang 54 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 32 trang 54 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 33 trang 54 SGK Toán 9 Tập 2

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HOCTAP247 sẽ sớm trả lời cho các em.