Đường tròn tâm (I ) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC,AB,AC lần lượt ở D,E,F. Đường thẳng qua E song song với BC cắt AD,DF lần lượt ở M,N. Khi đó M là trung điểm của đoạn thẳng

* Hướng dẫn giải

+ Vì đường tròn (I) tiếp xúc với  các cạnh tại D,E,F nên suy ra  AE=AF,BE=BD,CD=CF.

+ Dựng AK//BD(K∈DF) ta có: \( \frac{{MN}}{{AK}} = \frac{{MD}}{{DA}};\frac{{EM}}{{BD}} = \frac{{AM}}{{AD}}\)

Ta cần chứng minh:  \( \frac{{MD}}{{DA}}.AK = \frac{{AM}}{{AD}}.BD \Leftrightarrow \frac{{MD}}{{AM}} = \frac{{BD}}{{AK}}\)

 Nhưng \(AK=AF=AE, BD=BE\) nên ta cần chứng minh: \( \frac{{MD}}{{AM}} = \frac{{BE}}{{AE}}\) (điều này là hiển nhiên theo định lý Ta-let).