Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Tìm quỹ tích các điểm M nằm trong tam giác đó sao cho \( 2M{A^2} = M{B^2} - M{C^2}\)

* Hướng dẫn giải

Vẽ tam giác MAD vuông cân tại A (M và D khác phía đối với AC ).

Xét ΔBAM và ΔCAD có: 

AM=AD (vì tam giác MAD vuông cân tại A)

BA=AC (vì tam giác ABC vuông cân tại A )

\( \widehat {MAB} = \widehat {CAD}\) (vì cùng bằng \( {90^0} - \widehat {MAC}\))

Suy ra: ΔBAM=ΔCAD(c−g−c) nên ta có BM=CD

Ta có:

  \(\begin{array}{l} 2M{A^2} = M{B^2} - M{C^2}\\ \to 2M{A^2} + M{C^2} = M{B^2} \to {(MA\sqrt 2 )^2} + M{C^2} = C{D^2}\\ \to M{D^2} + M{C^2} = C{D^2} \end{array}\) nên \( \widehat {DMC} = {90^0}\)

Suy ra: \( \widehat {AMC} = {135^0}\)

Mà A,C cố định

⇒ Quỹ tích điểm M là cung chứa góc 135⁰ dựng trên AC , trừ hai điểm A và C .