Cho đường tròn (O;R), dây cung \(AB=R\sqrt3\). Vẽ đường kính CD vuông góc AB (C thuộc cung lớn AB). Trên cung AC nhỏ lấy điểm M, vẽ dây AN//CM. Độ dài đoạn MN là bao nhiêu?

* Hướng dẫn giải

Vì hai dây MC//AN nên hai cung AM và cung CN bằng nhau, hay \(AM=CN\)

Suy ra MCNA là hình thang cân \(⇒MN=AC\)

Gọi H là giao của CD và AB. Khi đó vì AB⊥CD tại H nên H là trung điểm của \(AB \Rightarrow AH = \frac{{AB}}{2} = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}\)

Xét tam giác vuông AHO, theo định lý Pytago ta có

\(OH = \sqrt {A{O^2} - A{H^2}} = \frac{R}{2} \to CH = \frac{{3R}}{2}\)

Theo định lý Pytago cho tam giác ACH vuông ta có 

\( AC = \sqrt {C{H^2} + A{H^2}} = R\sqrt 3 \)

Vậy \(MN=R\sqrt3\)