1) Cho các số thực không âm a, b thỏa mãn điều kiện \(\sqrt a  + \sqrt b  = 2\).

* Hướng dẫn giải

1) Sử dụng điều kiện \(\sqrt a  + \sqrt b  = 2\) biến đổi \(T = a\sqrt a  + b\sqrt b  = 6{(\sqrt a  - 1)^2} + 2 \ge 2\)

Chỉ ra a = b = 1 thì T = 2

Kết luận: giá trị nhỏ nhất của biểu thức T bằng 2.

2) 

Điều kiện \(1 - 3x \ge 0\). Khi đó \(\left| {6x - 2} \right| = 2(1 - 3x)\) và \(\sqrt[3]{{3x - 1}} =  - \sqrt[3]{{1 - 3x}}\).

Đặt \(\sqrt[3]{{1 - 3x}} = t(t \ge 0)\), phương trình đã cho  trở thành \(\sqrt {{t^3}}  + t = 2{t^3}\)

\( \Leftrightarrow t(\sqrt t  - 1)\left[ {(t + 1)(\sqrt t  + 1) + \sqrt t (t + \sqrt t  + 1)} \right] = 0 \Leftrightarrow t = 0;t = 1\,\,\left( {do\,\,t \ge 0} \right)\)

Từ đó, tìm được tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 0;x = \frac{1}{3}\)