Cho tam giác ABC nhọn, BD, CE là hai đường cao. Các điểm N, M trên các

$\Delta ANC$ vuông tại N, có ND là đường cao, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: $A{N}^2=AD.AC\left(1\right)$

Chứng minh tương tự trong $\Delta AMB$ vuông $\Rightarrow A{M}^2=AE.AB\left(2\right)$

Xét $\Delta ADB$ và $\Delta AEC$ có $\widehat{A}$ chung; $\widehat{D}=\widehat{E}={90}^0\Rightarrow \Delta ADB~\Delta AEC$

$\Rightarrow \frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)$\Rightarrow AD.AC=AE.AB\left(3\right)$

Từ (1), (2), (3) $\Rightarrow A{M}^2=A{N}^2\Rightarrow AM=AN\Rightarrow \Delta AMN$ cân tại A