Cho hình thoi ABCD với góc A = 120 độ. Tia Ax tạo với tia AB bằng 15 độ

Vẽ $AE\perp AN,E\in DC\Rightarrow AH\perp DC,H\in DC$

Ta có : $\widehat{DAE}=\widehat{DAB}-\left(\widehat{EAN}+\widehat{BAx}\right)={15}^0$

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ADE$ có: $\widehat{ABM}=\widehat{ADE};AB=AD$ (tính chất hình thoi); $\widehat{BAM}=\widehat{DAE}={15}^0$

Do đó $\Delta ABM=\Delta ADE(g.c.g)\Rightarrow AM=AE$

$\Delta ADH$ vuông tại H có:

$\widehat{ADH}={180}^0-\widehat{BAD}={60}^0$ nên là nửa tam giác đều

$\Delta ADH$ có $\widehat{H}={90}^0,$ theo định lý pytago ta có:

$A{H}^2+D{H}^2=A{D}^2\Rightarrow A{H}^2=A{B}^2-{\left(\frac{1}{2}AB\right)}^2=\frac{3}{4}A{B}^2$ $\Rightarrow \frac{1}{A{H}^2}=\frac{4}{3A{B}^2}$

$\Delta ANE$ có $\widehat{A}={90}^0,AH\perp DN,$ theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có: $\frac{1}{A{E}^2}+\frac{1}{A{N}^2}=\frac{1}{A{H}^2}\Rightarrow \frac{1}{A{M}^2}+\frac{1}{A{N}^2}=\frac{4}{3A{B}^2}$