Cho hai hàm số f(x) = ax + 5 (a khác 0) và g(x) = (a^2 + 3)x - 2. Chứng minh rằng:

* Hướng dẫn giải

$a)f\left(x\right)+g\left(x\right)=ax+5+\left(a^2+3\right)x-2=\left(a^2+a+3\right)x+3$

Ta có $a^2+a+3={\left(a+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{11}{4}>0\Rightarrow a^2+a+3>0$

$\Rightarrow$Hàm số f(x) + g(x) đồng biến.

$\begin{array}{l}g\left(x\right)+2f\left(x\right)=2\left(ax+5\right)+\left(a^2+3\right)x-2\\ =\left(a^2+2a+3\right)x+4\end{array}$

Ta có $a^2+2a+3={\left(a+1\right)}^2+2>0\Rightarrow a^2+2a+3>0$

$\Rightarrow$ Hàm số $g\left(x\right)+2f\left(x\right)$đồng biến 

Ta có $g\left(x\right)-f\left(x\right)=\left(a^2+3\right)x-2-\left(ax+5\right)=\left(a^2-a+3\right)x+3$

Vì $a^2-a+3={\left(a-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{11}{4}>0\Rightarrow a^2-a+3>0$ $\Rightarrow$hàm số f(x) - g(x) đồng biến 

$\begin{array}{l}b\left)f\right(x)-g(x)=ax+5-\left[\left(a^2+3\right)x-2\right]\\ =\left(a-a^2-3\right)x+5+2=\left(-a^2+a-3\right)x+7\end{array}$

Vì $-a^2+a-3=-\left(a^2-a+3\right)=-\left[{\left(a-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{11}{4}\right]=-{\left(a-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{11}{4}<0$

$\Rightarrow$ f(x) - g(x) nghịch biến