M là điểm tùy ý thuộc đường thẳng cố định d nằm ngoài đường tròn (O; R).

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

MP = MQ và MO là tia phân giác của $\widehat{PMQ}$ nên $OM\perp PQ$ tại K

Ta có: $\Delta OKI~\Delta OHM$ (vì có $\widehat{KOI}$ chung)

$\Rightarrow \widehat{OKI}=\widehat{OHM}={90}^0\Rightarrow \frac{OK}{OH}=\frac{OI}{OM}\Rightarrow OH.OI=OK.OM$

Vì MP, MQ là các tiếp tuyến của (O) nên $OP\perp MP,OQ\perp MQ$

$\Delta OPM$ có PK là đường cao nên $OK.OM=O{P}^2=R^2$

Vậy $OI.OH=OK.OM=R^2$

b) Vì đường thẳng d cố định, đường tròn (O) cố định nên OH cố định và có độ dài không đổi , mà $OI.OH=R^2$ không đổi nên $OI=\frac{R^2}{OH}$không đổi

I ở trên tia OH cố định và có OI không đổi nên I cố định.