Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn tâm O, đường kính BC cắt AB ở M và cắt AC ở N

a) $\Delta BMC$ có $OM=OB=OC=\frac{BC}{2}=R\Rightarrow \Delta BMC$ vuông tại M (định lý đảo đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

$\Rightarrow BM\perp MC\left(1\right),Cmtt\Rightarrow BN\perp NC\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra BN, CM là hai đường cao của tam giác $ABC\Rightarrow H$ là trực tâm $\Delta ABC$$\Rightarrow AK\perp BC.$

b) $\Delta AMH$ vuông tại M, ME là đường trung tuyến $\Rightarrow AE=EM\Rightarrow \Delta AEM$ cân $\Rightarrow \widehat{AEM}=\widehat{EMA}\left(3\right)$ mà $\widehat{EMA}=\widehat{OCM}$ (cùng phụ với góc B) (4)

Và $\widehat{OCM}=\widehat{OMC}$ (tính chất tam giác cân ) (5)

Từ $\left(3\right),\left(4\right),\left(5\right)\Rightarrow \widehat{EMA}=\widehat{OMC}$ mà $\widehat{EMA}+\widehat{EMH}={90}^0$

$\Rightarrow \widehat{OMC}+\widehat{EMH}={90}^0\Rightarrow \widehat{EMO}={90}^0,M\in \left(O\right)$ $\Rightarrow$EM là tiếp tuyến của (O)

c) Vì $\sin \widehat{BAC}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{BAC}={45}^0\Rightarrow \Delta AMC$ vuông cân tại M$\Rightarrow AM=MC$

Xét $\Delta AMH$ và $\Delta CMB$ có: $\widehat{MAH}=\widehat{MCB}$ (cùng phụ góc B); AM = CM

$\widehat{AMH}=\widehat{BMC}={90}^0\Rightarrow \Delta AMH=\Delta CMB\Rightarrow AH=BC$