Cho tam giác nhọn ABC có AD, BE, CF là ba đường cao cắt nhau tại H. M, N

a) Xét $\Delta ABE$ và $\Delta ACF$ có $\widehat{BAE}$ chung; $\widehat{AEB}=\widehat{AFC}={90}^0$

$\Rightarrow \Delta ABE~\Delta ACF(g.g)\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}$

Xét $\Delta AEF$ và $\Delta ABC$ có: $\widehat{EAF}$ chung; $\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\left(cmt\right)\Rightarrow \Delta AEF~\Delta ABC$

b) $\Delta AEF~\Delta ABC\Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{ABC}$

cmtt$\Rightarrow \widehat{DEC}=\widehat{ABC}\Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{DEC}$

Ta có $\widehat{DEC}+\widehat{HED}=\widehat{AEF}+\widehat{HEF}\left(={90}^0\right)$ nên $\widehat{HED}=\widehat{HEF}\Rightarrow EH$ là đường phân giác của $\Delta DEF$. Chứng mnh tương tự ta cũng có DH là đường phân giác $\Delta DEF\Rightarrow H$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta DEF$

c) Gọi Fx là tia đối của tia FD

Ta có: $\widehat{xFA}+\widehat{DFC}=\widehat{AFE}+\widehat{EFC}\left(={90}^0\right)$ mà $\widehat{DFC}=\widehat{EFC}$, do đó $\widehat{xFA}=\widehat{AFE}$

A là giao điểm của đường phân giác $\widehat{D}$ và đường phân giác ngoài đỉnh F nên A là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc D của $\Delta DEF.$ Chứng minh tương tự ta cũng có B,  C là tâm đường tròn bàng tiếp $\Delta DEF.$

d) Theo bài $P_{DEF}=2EM,P_{DEF}=2NF$

$\begin{array}{l}\Rightarrow DE+DF+EF=EM+NF\\ \Rightarrow DE+DF+EF=MN-EN+NF\\ \iff DE+DF+EF=MN+EF\\ \iff DE+DF=MN\end{array}$