Cho đường thẳng y = mx + m + 2 (Dm) điểm A(1; 4), đường thẳng y = -x + 4 (d)

b) Gọi $M\left(x_0;y_0\right)$ là điểm mà $\left(D_m\right)$ y = mx + m + 2 luôn đi qua

$\begin{array}{l}\Rightarrow y_0=m{x}_0+m+2\\ \iff m{x}_0+m=y_0+2\iff m\left(x_0+1\right)=y_0+2(*)\end{array}$

Phương trình (*) luôn thỏa mãn $\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_0+1=0\\ y_0+2=0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_0=-1\\ y_0=-2\end{array}\right.$

Vậy M(-1; -2) là điểm mà $\left(D_m\right)$ luôn đi qua .

 $\begin{array}{l}c)B\in \left(d\right)y=-x+4\Rightarrow B\left(x_B;4-x_B\right)\\ AB=\sqrt{{\left(x_A-x_B\right)}^2+{\left(y_A-y_B\right)}^2}=\sqrt{{\left(1-x_B\right)}^2+{\left(4-4+x_B\right)}^2}\\ =\sqrt{1-2x_B+2x_B^2}\end{array}$

AB ngắn nhất $\iff 2x_B^2-2x_B+1$ nhỏ nhất

$\iff {\left(\sqrt{2}{x}_B\right)}^2-2.\sqrt{2}{x}_B.\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$ nhỏ nhất

$\iff {\left[\sqrt{2}{x}_B-1\right]}^2+\frac{1}{2}\ge 0$ $\Rightarrow MinAB=\frac{1}{2}\iff \sqrt{2}{x}_B-\frac{1}{2}=0\iff x_B=\frac{\sqrt{2}}{4}$

Vậy $B\left(\frac{\sqrt{2}}{4};\frac{16-\sqrt{2}}{4}\right)$ thì $A{B}_{\min }=\frac{1}{2}$