Vẽ nửa đường tròn đường kính BC của tam giác đều ABC về phía ngoài

Xét $\Delta BAM$ và $\Delta CAN$ có: $\angle A_1=\angle A_3$ (góc nội tiếp chắn $\stackrel{⏜}{BD}=\stackrel{⏜}{CE})$

$\angle B=\angle C;AB=AC\left(gt\right)\Rightarrow \Delta BAM=\Delta CAN(g.c.g)\Rightarrow BM=CN$

Xét $\Delta OBD$có $OB=OD,\angle O={60}^0\Rightarrow \Delta OBD$ đều

$\Rightarrow \angle DBO={60}^0\Rightarrow \angle DBO=\angle BCA$, mà hai góc ở vị trí so le trong nên $BD//AC\Rightarrow \frac{BM}{CM}=\frac{BD}{BA}$, mà $\left.\begin{array}{l}BD=BO\\ BA=BC\end{array}\right\}\Rightarrow \frac{BD}{BA}=\frac{BO}{BC}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{OD}{AB}=\frac{1}{2}$

Vì $\angle O=\angle B={60}^0$ mà hai góc ở vị trí so le trong nên AB // OD

Áp dụng định lý Ta let ta có $\frac{OM}{MB}=\frac{OD}{AB}=\frac{1}{2},$ Chứng minh tương tự $\Rightarrow \frac{ON}{NC}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow OM+ON=\frac{1}{2}MB+\frac{1}{2}MB=MB(doMB=NC)\Rightarrow MN=MB$