Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BD, CE cắt nhau tại H.

a) Ta có: $\angle ABF=\angle ACF={90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $AB\perp BF,AC\perp CF$

$*\left\{\begin{array}{l}CE\perp AB\\ FB\perp AB\end{array}\right.\Rightarrow CH//BF,*\left\{\begin{array}{l}BH\perp AC\\ FC\perp AC\end{array}\right.\Rightarrow BH//FC$$\Rightarrow BHCF$ là hình bình hành

b) Tứ giác BHFC là hình bình hành mà M là trung điểm BC nên M là trung điểm HF

$\Rightarrow H,M,F$ thẳng hàng.

c) Xét $\Delta FHA$ có M là trung điểm HF, O là trung điểm AF

$\Rightarrow OM$ là đường trung bình $\Delta FHA\Rightarrow OM=\frac{1}{2}AH$