Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R và điểm C nằm ngoài nửa đường tròn

Câu hỏi :

Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R và điểm C nằm ngoài nửa đường tròn và cùng phía với nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB và chứa nửa đường tròn. Đường thẳng CA cắt nửa đường tròn ở M, CB cắt nửa đường tròn ở N. Gọi H là giao điểm của AN và BM

a) Chứng minh : $CH\perp AB$

b) Gọi I là trung điểm CH. Chứng minh MI là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O).

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

a) $\angle AMB=\angle ANB={90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}BM\perp AC\\ AN\perp BC\end{array}\right.$

Xét $\Delta ABC$ có: $\left\{\begin{array}{l}AN\perp BC\\ BM\perp AC\end{array}\right.\Rightarrow H$ là trực tâm $\Rightarrow CH\perp AB$

b) $\Delta CMH$ vuông tại M có MI là trung tuyến $\Rightarrow CI=MI$$\Rightarrow \Delta MCI$ cân nên $\angle CMI=\angle ICM$

Chứng minh tương tự ta có: $\angle OMA=\angle OAM\Rightarrow \angle IMO={90}^0$$\Rightarrow MI\perp MO$ mà M thuộc (O) nên MI là tiếp tuyến của (O)