Tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Vẽ một đường tròn (O') tiếp xúc trong

Qua T vẽ tiếp tuyến chung tTt'với hai đường tròn

Ta có: $\angle BTt=\angle EFT$ (tiếp tuyến – dây cung)

Tương tự: $\angle BTt=\angle BCT\Rightarrow \angle EFT=\angle BCT\Rightarrow EF//BC$

Chứng minh tương tự : $DF//AC,DE//AB$

Lấy G thuộc tia TC sao cho TG = TB

$\Delta TBG$ cân (TG = TB) và $\angle BTG={60}^0\Rightarrow \Delta TBG$ đều$\Rightarrow \angle BGT={60}^0$

Xét $\Delta ATB,\Delta CGB$ có: $\angle TAB=\angle TCB$ (cùng chắn $\stackrel{⏜}{TB}),AB=BC(gt),\angle TBA=\angle GBC$

Do đó: $\Delta ATB=\Delta CGB(g.c.g)\Rightarrow TA=GC$ mà $TG+GC=TC=TA+TB$ (đpcm)