Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A, B, C. Gọi M, N, P theo thứ tự là các điểm

Ta có: $\angle PBN=\frac{1}{2}\left(sd\stackrel{⏜}{PC}+sd\stackrel{⏜}{CN}\right)$ (góc nội tiếp cùng chắn $\stackrel{⏜}{PN})$

$\angle BCN=\frac{1}{2}\left(sd\stackrel{⏜}{AP}+sd\stackrel{⏜}{BN}\right)$ (góc có đỉnh bên trong đường tròn)

Mà PC = AP và $CN=BN\left(gt\right)\Rightarrow \angle PBN=\angle BCN$

Dễ thấy $\angle ANM=\angle BNM$ (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) nên NI là phân giác $\angle ANB$

Ta có: $\frac{AI}{IB}=\frac{AN}{BN}\Rightarrow AI.BN=IB.AN$

Theo chứng minh trên (câu a, b) , $\Delta BNK$ cân có NI là đường phân giác . Do đó IN cũng là đường trung trực của cạnh $BK\Rightarrow IB=IK\Rightarrow \Delta BIK$ cân $\Rightarrow \angle IBK=\angle IKB$ hay $\angle ABD=\angle IKB\left(1\right)$ mà $\angle APB=\angle CBP\left(2\right)$ (góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)

Từ (1) và (2) suy ra $\angle CBD=\angle IKP\Rightarrow IK//BC$