Cho đường tròn (O). Một dây AB lấy C thuộc tia đối của tia BA. Từ C kẻ các

a) Ta có:

$\begin{array}{l}\angle CMD=\frac{1}{2}sd\stackrel{⏜}{DBM}=\frac{1}{2}sd\stackrel{⏜}{BM}+\frac{1}{2}sd\stackrel{⏜}{BND}\\ \angle CEM=\frac{1}{2}sd\stackrel{⏜}{BM}+\frac{1}{2}sd\stackrel{⏜}{AD}\end{array}$

Mà D là điểm chính giữa cung AB$\Rightarrow sd\stackrel{⏜}{AD}=sd\stackrel{⏜}{BND}$

$\Rightarrow \angle CMD=\angle CEM\Rightarrow \Delta CME$ cân tại A$\Rightarrow CM=CE$

b) Xét $\Delta CNB,\Delta CAN$ có: $\angle NCA$ chung; $\angle CNB=\angle CAN\Rightarrow \Delta CNB~\Delta CAN(g-g)$

$\Rightarrow \frac{NB}{NA}=\frac{NC}{AC}=\frac{MC}{AC}=\frac{EC}{AC}\left(*\right)$. Lại có: $C{N}^2=CA.CB$

$\begin{array}{l}\Rightarrow C{E}^2=CA.CB(DoCN=CM=CE)\\ \Rightarrow C{E}^2=\left(EC-BE\right).CA=CE.CA-CA.BE\\ \Rightarrow CE.CA-C{E}^2=CA.BE\\ \Rightarrow CE.\left(CA-CE\right)=CA.BE\Rightarrow CE.EA=CA.BE\Rightarrow \frac{EA}{EB}=\frac{CA}{CE}\left(**\right)\end{array}$

Từ $\left(*\right),\left(**\right)\Rightarrow \frac{NB}{NA}=\frac{EB}{EA}\Rightarrow EA.NB=EB.NA$

c) I là trung điểm của dây AB$\Rightarrow OI\perp AB$ tại I$\Rightarrow \angle OIC={90}^0$

Ta có: $\angle ONC=\angle OMC=\angle OIC={90}^0\Rightarrow 5$ điểm $M,C,N,O,I$ thuộc đường tròn đường kính OC.