Cho tam giác ABC. Giả sử các đường phân giác trong và phân giác ngoài của

AD cắt cung BC tại F. Vẽ đường kính AC của đường tròn (ABC)

Ta có: $\angle ABG={90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$sd\stackrel{⏜}{GB}+sd\stackrel{⏜}{FC}+sd\stackrel{⏜}{AC}+sd\stackrel{⏜}{BF}=sd\stackrel{⏜}{ACG}={180}^0$

$\angle BAF=\angle FAC$ (AD là phân giác)$\Rightarrow sd\stackrel{⏜}{BF}=sd\stackrel{⏜}{FC}$

Nên AD, AE là hai tia phân giác của hai góc kề bù $\angle BAC,\angle CAx$ nên $\angle DAE={90}^0\left(1\right)$
$\Delta DAE$ vuông góc có $AD=AE\left(gt\right)\Rightarrow \Delta DAE$ vuông cân $\Rightarrow \angle ADE={45}^0\left(2\right)$

sđ$\stackrel{⏜}{ADE}=\frac{sd\stackrel{⏜}{AC}+sd\stackrel{⏜}{BF}}{2}\Rightarrow sd\stackrel{⏜}{AC}+sd\stackrel{⏜}{BF}={90}^0\left(3\right)$

Từ (1), (2), (3) có $\stackrel{⏜}{GB}=\stackrel{⏜}{AC}\Rightarrow GB=AC$

$\Delta BAG$ vuông tại B nên $A{B}^2+B{G}^2=A{G}^2=A{B}^2+A{C}^2=4R^2$