Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn (O) đường kính AB cắt BC tại M.

Ta có: $\widehat{AMB}={90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow AM\perp BC$

Ta có $\Delta BAC$ vuông tại A, AM là đường cao $\Rightarrow AM.BC=AB.AC$ (hệ thức lượng)

Ta có  $\widehat{BNM}=\widehat{BAM}$ (cùng chắn cung BM)

Mà $\widehat{BAM}=\widehat{BCA}$ (cùng phụ $\widehat{ABC}$)

$\Rightarrow \widehat{BNM}=\widehat{BCA}\Rightarrow MNIC$ là tứ giác nội tiếp

Ta có: $\widehat{ANB}={90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)$\Rightarrow \widehat{ANI}={90}^0$

Xét $\Delta ANI$ và $\Delta BAI$ có: $\widehat{ANI}=\widehat{BAI}={90}^0;\widehat{I}$chung

$\Rightarrow \Delta ANI~\Delta BAI(g.g)$$\Rightarrow \frac{AI}{NI}=\frac{BI}{AI}\Rightarrow A{I}^2=BI.NI$