Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn

Câu hỏi :

Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn. Gọi C là điểm trên nửa đường tròn sao cho cung CA bằng cung CB, D là điểm tùy ý trên cung $CB\left(D\ne C,D\ne B\right)$, các tia AC, AD cắt tia Bx theo thứ tự ở E và F

a) Tính số đo $\angle AEB$

b) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp

c) Chứng minh $B{E}^2=AD.\text{}AF$

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

a) Ta có $\Delta ABE$ vuông tại B do Bx là tiếp tuyến mà $\angle CAB={45}^0$ (góc nội tiếp chắn cung $\stackrel{⏜}{CB}={90}^0)\Rightarrow \Delta ABE$ vuông cân tại B $\Rightarrow \angle AEB={45}^0$

b) Ta có $sd\stackrel{⏜}{AC}=\frac{sd\stackrel{⏜}{AB}}{2}={90}^0\Rightarrow \angle ADC={45}^0$. Tứ giác CDFE có $\angle E=\angle CDA={45}^0\Rightarrow EFDC$ là tứ giác nội tiếp

c) Vì $\Delta ABC$ vuông tại B, BD đường cao do $\angle ADB={90}^0$

$\Rightarrow AD.AF=A{B}^2=B{E}^2$ (do $\Delta ABE$ vuông cân)