Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính BC = 2a và một điểm A nằm trên nửa

Câu hỏi :

Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính BC = 2a và một điểm A nằm trên nửa đường tròn sao cho AB = a. Trên cung AC lấy điểm M, BM cắt AC tại I. Tia BA cắt đường thẳng CM tại D

a) Chứng minh $\Delta AOB$ là tam giác đều

b) Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp đường tròn, xác định tâm K của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó

c) Cho $\angle ABM={45}^0.$ Tính độ dài cung AI và $S_{quat}$ AKI của đường tròn tâm K theo a

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

a) $\Delta OAB$ có $OA=OB=AB=a\Rightarrow \Delta OAB$ đều

b) $\angle BAC=\angle BMC=\frac{1}{2}sd\stackrel{⏜}{BC}={90}^0$

$\Rightarrow \angle CAD=\angle BMD={90}^0\Rightarrow \angle IAD+\angle IMD={180}^0$

$\Rightarrow AIMD$ nội tiếp đường tròn đường kính DI, tâm I là trung điểm DI

$\angle ABM={45}^0\Rightarrow \Delta ABI$ vuông cân tại $A\Rightarrow AI=AB=a$

AIMD nội tiếp $\Rightarrow \angle ADI=\angle AMI=\frac{1}{2}\angle AOB={30}^0$

$\Rightarrow DI=2AI=2a;AK=KI=\frac{1}{2}DI=a$$\iff \Delta AKI$ đều $\Rightarrow \angle AKI={60}^0$

c) $l_{\stackrel{⏜}{AI}}=\frac{2\pi a{.60}^0}{{360}^0}=\frac{\pi a}{3}$;        $S_{quat\left(AKI\right)}=\frac{\pi a^2{.60}^0}{{360}^0}=\frac{\pi a^2}{6}$