Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn

Câu hỏi :

Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn. Gọi C là điểm trên nửa đường tròn sao cho cung CA bằng cung CB, D là điểm tùy ý trên cung CB (D khác C và B), các tia AC và AD cắt tia Bx theo thứ tự ở E và F

a) Tính số đo góc AEB

b) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn

c) Chứng minh $B{E}^2=AD.AF$

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

a) $sd\stackrel{⏜}{AC}=sd\stackrel{⏜}{CB}\Rightarrow \widehat{ACB}={45}^0$ mà $\Delta ABE$ vuông tại B (do BE là tiếp tuyến) $\Rightarrow \widehat{AEB}={45}^0$

b) Ta có $\widehat{AEB}={45}^0$ mà $\widehat{CDA}=\frac{1}{2}sd\stackrel{⏜}{AC}=\frac{1}{2}{.90}^0={45}^0$ (do C chính giữa cung AB)

$\Rightarrow \widehat{AEB}=\widehat{CDA}={45}^0\Rightarrow CDFE$ là tứ giác nội tiếp

c) Ta có $\widehat{ADB}={90}^0$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

$\Rightarrow \Delta ABF$ vuông tại B, BD là đường cao $\Rightarrow AD.AF=A{B}^2$

Mà AB = BE (do tam giác ABE vuông cân) $\Rightarrow B{E}^2=AD.AF\left(dpcm\right)$