Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn (a + b + c)abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

Ta có:

  $\frac{a^5}{a^3+2b^3}=\frac{a^2\left[a^3+2b^3\right]-2a^2{b}^3}{a^3+2b^3}$= a² − 2 $\frac{a^2{b}^3}{a^3+2b^3}$

a³ + 2b³ = a³ + b³ + b³ ≥  $3\sqrt[3]{a^3.b^3.b^3}$Þ a³ + 2b³ ≥ 3ab²

Þ  $\frac{a^2{b}^3}{a^3+2b^3}$≤  $\frac{a^2{b}^3}{3a{b}^2}$Þ  $\frac{a^2{b}^3}{a^3+2b^3}$≤  $\frac{ab}{3}$

Þ a² − 2 $\frac{a^2{b}^3}{a^3+2b^3}$ ≥ a² −  $\frac{2}{3}$ab Þ  $\frac{a^5}{a^3+2b^3}$ ≥ a² − $\frac{2}{3}$ ab

Chứng minh tương tự

$\frac{b^5}{b^3+2c^3}$   ≥ b² − $\frac{2}{3}$ bc,  $\frac{c^5}{c^3+2a^3}$ ≥ c² −  $\frac{2}{3}$ca.

Từ đây ta có S ≥ a² + b² + c² −  $\frac{2}{3}$ab −  $\frac{2}{3}$bc −  $\frac{2}{3}$ca

= $\frac{1}{2}$[(a – b)² + (b – c)² + (c – a)²] + $\frac{1}{3}$(ab + bc + ca)

Þ P ≥ $\frac{1}{3}$(ab + bc + ca)

Áp dụng bất đẳng thức (x + y + z)² ≥ 3(xy + yz + zx), ta có:

(ab + bc + ca)² ≥ 3 Þ ab + bc + ca ≥  $\sqrt{3}$

Þ P ≥  $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =  $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$