Cho phương trình x^2 -2 ( m-2) x -6 = 0 (m là tham số) có hai nghiệm x1, x2.

Giải chi tiết

Phương trình $x^2-2\left(m-2\right)x-6=0$ có $ac<0$ nên phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ phân biệt.

Áp dụng định lí Vi-ét, ta được: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\left(m-2\right)\\ x_1{x}_2=-6\end{array}\right.$

Đặt $u=\frac{x_2}{x_1}$ và $v=\frac{x_1}{x_2}$

Ta có: $S=u+v=\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{{x_1}^2+{x_2}^2}{x_1{x}_2}=\frac{{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2}{x_1{x}_2}=\frac{{\left[2\left(m-2\right)\right]}^2+12}{-6}=\frac{-2m^2+8m-14}{3}$ 

$P=u.v=\frac{x_2}{x_1}.\frac{x_1}{x_2}=1$

Phương trình có hai nghiệm $\frac{x_2}{x_1}$ và $\frac{x_1}{x_2}$là:

$X^2-\frac{-2m^2+8m-14}{3}X+1=0\iff 3X^2+\left(2m^2-8m+14\right)X+3=0$