b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1, x2 là độ dài hai

b) Yêu cầu của bài toán là tìm điều kiện của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5 tức ${x_1}^2+{x_2}^2=5^2$ .

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ dương khi và chỉ khi

$\left\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ m+2>0\\ 3m-3>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\left(m-4\right)}^2>0\\ m>-2\\ m>1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 4\\ m>1\end{array}\right.$ 

Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m+2\\ x_1{x}_2=3m-3\end{array}\right.$

Ta có: ${x_1}^2+{x_2}^2=5^2\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=25$

$\iff {\left(m+2\right)}^2-2\left(3m-3\right)=25$

$\iff m^2-2m-15=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}m=5\left(thoûamaõn\right)\\ m=-3\left(loaïi\right)\end{array}\right.$

Vậy $m=5$ 

Một số đẳng thức cần nhớ

${x_1}^2+{x_2}^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2$

${x_1}^3+{x_2}^3={\left(x_1+x_2\right)}^3-3x_1{x}_2\left(x_1+x_2\right)$