1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\left( {{x^2} + 5} \right):\sqrt {{x^2} + 4} \)2.

* Hướng dẫn giải

Đặt \(\begin{array}{l}
P = \frac{{{x^2} + 5}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} = \sqrt {{x^2} + 4}  + \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}\\
 = \left( {\frac{1}{4}\sqrt {{x^2} + 4}  + \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}} \right) + \frac{3}{4}.\sqrt {{x^2} + 4} 
\end{array}\)

Suy ra \(P \ge \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}\). Với x = 0 thì P=5/2

Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là 5/2

2. Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( 1 \right)\)

Từ giả thiết suy ra b > a + c

Nếu \(a + c \ge 0\) thì \({b^2} > {\left( {a + c} \right)^2} \ge 4ac \Rightarrow {b^2} - 4ac > 0\), phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Nếu a + c < 0, kết hợp c > 0 suy ra a < 0. Khi đó a và c trái dấu, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 

Vậy trong mọi trường hợp phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) luôn có hai nghiệm phân biệt