Cho phương trình \({{\rm{x}}^{\rm{2}}} + {\rm{mx}} + {\rm{m}} - {\rm{2}} = {\rm{0}}\) với m là tham số và x là ẩn sốa) Chứng t�

* Hướng dẫn giải

a) Phương trình có a = 1, b = m, c = m -2 

Xét \({\rm{\Delta }} = {{\rm{b}}^{\rm{2}}} - {\rm{4ac}} = {{\rm{m}}^{\rm{2}}} - {\rm{4}}{\rm{.1}}{\rm{.}}\left( {{\rm{m}} - {\rm{2}}} \right) = {{\rm{m}}^{\rm{2}}} - {\rm{4m}} + {\rm{8}} = \left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}} - {\rm{4m}} + {\rm{4}}} \right) + {\rm{4}} = {\left( {{\rm{m}} - {\rm{2}}} \right)^{\rm{2}}} + {\rm{4}}\)

Với mọi m, ta có: \({\left( {{\rm{m}} - {\rm{2}}} \right)^{\rm{2}}} \ge {\rm{0}} \Rightarrow {\left( {{\rm{m}} - {\rm{2}}} \right)^{\rm{2}}} + {\rm{4}} \ge {\rm{4}} > {\rm{0}}\)

Vì \(\Delta  > 0\) với mọi m nên phương trình luôn có nghiệm với mọi m. 

b) Theo câu a, \(\Delta  > 0\) với mọi m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa hệ thức Vi-ét: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\rm{x}}_{\rm{1}}} + {{\rm{x}}_{\rm{2}}} = \frac{{ - {\rm{b}}}}{{\rm{a}}} = \frac{{ - {\rm{m}}}}{{\rm{1}}} =  - {\rm{m}}}\\
{{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}} = \frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}} = \frac{{{\rm{m}} - {\rm{2}}}}{{\rm{1}}} = {\rm{m}} - {\rm{2 }}}
\end{array}} \right.\)

Ta có: \(\left( {\sqrt {{\rm{x}}_{\rm{1}}^{\rm{2}} + {\rm{1}}}  - {\rm{1}}} \right)\left( {\sqrt {{\rm{x}}_{\rm{2}}^{\rm{2}} + {\rm{1}}}  - {\rm{1}}} \right)\left( {\sqrt {{\rm{x}}_{\rm{1}}^{\rm{2}} + {\rm{1}}}  + {\rm{1}}} \right)\left( {\sqrt {{\rm{x}}_{\rm{2}}^{\rm{2}} + {\rm{1}}}  + {\rm{1}}} \right) = {\rm{1}}\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left( {\sqrt {{\rm{x}}_{\rm{1}}^{\rm{2}} + {\rm{1}}}  - {\rm{1}}} \right)\left( {\sqrt {{\rm{x}}_{\rm{1}}^{\rm{2}} + {\rm{1}}}  + {\rm{1}}} \right)\left( {\sqrt {{\rm{x}}_{\rm{2}}^{\rm{2}} + {\rm{1}}}  - {\rm{1}}} \right)\left( {\sqrt {{\rm{x}}_{\rm{2}}^{\rm{2}} + {\rm{1}}}  + {\rm{1}}} \right) = {\rm{1}}\\
 \Leftrightarrow \left( {{\rm{x}}_{\rm{1}}^{\rm{2}} + {\rm{1}} - {\rm{1}}} \right)\left( {{\rm{x}}_{\rm{2}}^{\rm{2}} + {\rm{1}} - {\rm{1}}} \right) = {\rm{1}}\\
 \Leftrightarrow {\rm{x}}_{\rm{1}}^{\rm{2}}{\rm{x}}_{\rm{2}}^{\rm{2}} = {\rm{1}}\\
 \Leftrightarrow {\left( {{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}} \right)^{\rm{2}}} - {\rm{1}} = {\rm{0}}
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{\rm{m}} - {\rm{2}}} \right)^{\rm{2}}} - {\rm{1}} = {\rm{0}}\) (do hệ thức Viet)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left( {{\rm{m}} - {\rm{2}} + {\rm{1}}} \right)\left( {{\rm{m}} - {\rm{2}} - {\rm{1}}} \right) = {\rm{0}}\\
 \Leftrightarrow \left( {{\rm{m}} - {\rm{1}}} \right)\left( {{\rm{m}} - {\rm{3}}} \right) = {\rm{0}}
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {\rm{m}} - {\rm{1}} = {\rm{0}}\) hoặc m - 3 = 0

\( \Leftrightarrow {\rm{m}} = {\rm{1}}\) hoặc m = 3

Vậy m = 1 hoặc m = 3 là các giá trị cần tìm.