Cho \(A = \frac{1}{{1 + \sqrt 2 }} + \frac{2}{{\sqrt 2  + \sqrt 3 }} + \frac{3}{{\sqrt 3  + \sqrt 4 }} + ....

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}
A = \frac{1}{{1 + \sqrt 2 }} + \frac{2}{{\sqrt 2  + \sqrt 3 }} + \frac{3}{{\sqrt 3  + \sqrt 4 }} + .... + \frac{{99}}{{\sqrt {99}  + \sqrt {100} }}\\
 = \left( {\sqrt 2  - 1} \right) + 2\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right) + 3\left( {\sqrt 4  - \sqrt 3 } \right) + .... + 98\left( {\sqrt {99}  - \sqrt {98} } \right) + 99\left( {\sqrt {100}  - \sqrt {99} } \right)\\
 =  - 1 - \sqrt 2  - \sqrt 3  - \sqrt 4  - ... - \sqrt {99}  + 99\sqrt {100} 
\end{array}\)

 và \(B = \sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 4  + ... + \sqrt {100} \)

\( \Rightarrow A + B = 100\sqrt {100}  - 1 = 999\)