Cho hai biểu thức (A = sqrt x  - 2) và (B = frac{2}{{2 - sqrt x }} - frac{{sqrt x  + 2}}{{2sqrt x  - x}}) với (x >

* Hướng dẫn giải

1. Tính giá trị của biểu thức A, với \(x = 3 - 2\sqrt 2 .\)

\(\begin{array}{l}
x = 3 - 2\sqrt 2 \\
x = 2 - 2\sqrt 2  + 1\\
x = {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2}
\end{array}\)

\(A = \sqrt x  - 2\)

Thay \(x = {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2}\) vào A suy ra

\(\begin{array}{l}
A = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}^2}}  - 2\\
A = \left| {\sqrt 2  - 1} \right| - 2\\
A = \sqrt 2  - 1 - 2\\
A = \sqrt 2  - 3
\end{array}\)

2. \(B = \frac{2}{{2 - \sqrt x }} - \frac{{\sqrt x  + 2}}{{2\sqrt x  - x}}\) với \(x > 0;x \ne 4\)

\(\begin{array}{l}
B = \frac{2}{{2 - \sqrt x }} - \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}\\
B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}} - \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}\\
B = \frac{{2\sqrt x  - \sqrt x  - 2}}{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}
\end{array}\)

Thu gọn ta được \(B = \frac{{ - 1}}{{\sqrt x }}\)

3. Điều kiện: \(x > 0;x \ne 4\)

\(\begin{array}{l}
P = A.B \Leftrightarrow P = \left( {\sqrt x  - 2} \right).\left( {\frac{{ - 1}}{{\sqrt x }}} \right)\\
P = \frac{{2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }}\\
P = \frac{2}{{\sqrt x }} - 1
\end{array}\)

+ x không là số chính phương thì chỉ ra P không phải số nguyên

+ x là số chính phương thì để P có giá trị nguyên \( \Leftrightarrow \sqrt x  \in \) Ư(2)

Lập bảng ta đươc: \(x \in \left\{ {1;4} \right\}\) , Kết luận x = 1