Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn \((\sqrt x  + 1)(\sqrt y  + 1) \ge 4\).

* Hướng dẫn giải

Từ giả thiết: \((\sqrt x  + 1)(\sqrt y  + 1) \ge 4 \Rightarrow \sqrt {xy}  + \sqrt x  + \sqrt y  \ge 3\) 

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số không âm ta có:

\(3 \le \sqrt {xy}  + \sqrt x  + \sqrt y  \le \frac{{x + y}}{2} + \frac{{x + 1}}{2} + \frac{{y + 1}}{2} = x + y + 1 \Rightarrow x + y \ge 2\)

Mà \(P = \frac{{{x^2}}}{y} + \frac{{{y^2}}}{x} \ge \frac{{{{(x + y)}^2}}}{{x + y}} = x + y \Rightarrow P \ge 2\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2. Đạt tại x = y = 1