1) Tìm m để đường thẳng d1 : \(y = ({m^2} + 1)x + 2m - 3\) cắt đường thẳng d2 : \(y = x - 3\) tại điểm A có hoành độ bằng – 1. 2) Rút gọn biểu thức \(A = \left( {\frac{1}{{x + \sq...

* Hướng dẫn giải

1) Để d₁ cắt d₂ thì \({m^2} + 1 \ne 1 \Leftrightarrow m \ne 0\)

Thay x = - 1 vào phương trình y = x - 3 được y = - 1- 3 = - 4

\( \Rightarrow \) d₁ đi qua điểm \(A( - 1; - 4)\)

Thay \(x =  - 1;y =  - 4\) vào phương trình d₁ được:

\(\begin{array}{l}
{\rm{    }} - 4 = ({m^2} + 1).( - 1) + 2m - 3\\
 \Leftrightarrow  - 4 =  - {m^2} - 1 + 2m - 3\\
 \Leftrightarrow {m^2} - 2m = 0\\
 \Leftrightarrow m(m - 2) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0\\
m = 2
\end{array} \right.
\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện \(m \ne 0\), suy ra m = 2

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm. 

2) \(A = \left( {\frac{1}{{x + \sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x  + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x  - 1}}{{x + 2\sqrt x  + 1}} + 1\)

\(\begin{array}{l}
 = \frac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x (\sqrt x  + 1)}}:\frac{{\sqrt x  - 1}}{{{{(\sqrt x  + 1)}^2}}} + 1\\
 = \frac{{ - (\sqrt x  - 1)}}{{\sqrt x (\sqrt x  + 1)}} \cdot \frac{{{{(\sqrt x  + 1)}^2}}}{{\sqrt x  - 1}} + 1\\
 = \frac{{ - (\sqrt x  + 1)}}{{\sqrt x }} + 1\\
 = \frac{{ - \sqrt x  - 1 + \sqrt x }}{{\sqrt x }}\\
 = \frac{{ - 1}}{{\sqrt x }}
\end{array}\)

Vậy \(A = \frac{{ - 1}}{{\sqrt x }}\) với x > 0 và \(x \ne 1\).